W którą stronę przechyli się waga – ostateczne rozwiązanie fizyczne

Rozwiązane zadanie – kulki na wadze

Nasz tekst sprzed dwóch dni oraz towarzyszący mu wpis na Facebooku wzbudziły potężną dyskusję. Podawaliście różne rozwiązania, dyskutowaliście, spieraliście się. Sprawa okazała się tak ciekawa, że o ostateczne rozwiązanie tej kwestii zwróciliśmy się do najlepszych specjalistów – Centrum Fizyki Teoretycznej PAN. Dzięki uprzejmości dyrektora Centrum, profesora Lecha Mankiewicza, dostaliśmy rozwiązanie przygotowane przez mgr K. Karnas. Poniżej zamieszczamy jej wyjaśnienia. Tym razem nie ma już wątpliwości 🙂

Warunki zadania: dwie jednakowe zlewki wypełnione wodą w takiej samej objętości są ustawione na wadze. Waga wskazuje jednakowy ciężar zlewek. Następnie do dna pierwszej z nich przymocowuje się piłeczkę pingpongową (nitka jest nieważka i nierozciągliwa), zaś w drugiej umieszcza stalową kulkę umocowaną na nici. Objętości piłek są równe.

Waga nie pokazuje „czystego” ciężaru danego ciała, lecz nacisk, jakie wywiera ono na szalki (w przypadku wag sprężynowych mierzona jest siła naciągu). Aby rozwiązać to zadanie, należy znaleźć więc siłę nacisku układu woda-zlewka-piłka na szalki wagi.

Rys. 1. Siły działające na kulki

Obydwie piłki pozostają w spoczynku. Z pierwszej zasady dynamiki Newtona wynika więc, że działające na nie siły się równoważą. Na każdą piłkę działają siły N⃗ – siła naciągu nici, W⃗ – siła wyporu równa co do wartości W=ρH₂O gV (zależna tylko od gęstości wody i objętości piłek), oraz siła ciężkości równa F⃗₁=m₁ ⃗g,F⃗₂=m₂ ⃗g . Siła ciężkości zawsze skierowana jest w stronę ziemi, a siła wyporu – w kierunku przeciwnym.

W pierwszym przypadku nitka działa na lekką piłeczkę siłą skierowaną przeciwnie do siły wyporu, dzięki czemu piłeczka nie wypływa na powierzchnię. W drugim przypadku siła naciągu nici na kulkę skierowana jest do góry.

Równania dla poszczególnych piłek: W−m₁ g−N₁=0 , W+N₂−m₂ g=0

Rys. 2. – siły działające na wodę

Woda i zlewka również znajdują się w spoczynku, więc działające na nie siły równoważą się. Wśród nich można wyróżnić siłę ciężkości F_c=M ⃗g gdzie M – łączna masa wody i zlewki, siłę reakcji podłoża  ⃗R równą co do wartości sile nacisku na szalki wagi. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona trzeba uwzględnić jeszcze siłę W⃗ , z jaką piłka „działa” na wodę i „odpycha się” od dna, oraz siłę N⃗ z jaką piłka działa na nitkę.

Ważne: siła N⃗ nie została uwzględniona w przypadku stalowej kulki, ponieważ nitka nie jest elementem układu zlewka-woda-piłka (siła naciągu będzie działać na czarny statyw po prawej stronie).

Równania dla obydwu zlewek: R₁+N₁−Mg−W=0 , R₂−W−Mg=0

Obliczmy różnicę sił reakcji podłoża: R₂−R₁=W+Mg−(W+Mg−N₁)=N₁

Z warunku równowagi dla piłeczki pingpongowej wiadomo, że N₁=W−m₁g

Masa piłeczki jest równa m₁=ρ₁V , czyli wzór na siłę naciągu można zapisać jako N₁=(ρH₂O−ρ₁ )gV =R₂−R₁. Wiadomo, że piłeczka pingpongowa ma mniejszą gęstość, niż woda, czyli ρH₂O−ρ₁>0⇒R₂>R₁. A skoro siły reakcji są równe co do wartości sile nacisku oznacza to również, że waga przechyli się w prawo.