Log In Register
Lost your password?

captcha image

A password will be e-mailed to you.

Widok z Empire State Building

Przede wszystkim gdy zadajemy to pytanie, to tak naprawdę chodzi nam o widnokrąg, nie horyzont. To widnokrąg jest granicą naszej widoczności. Ale mniejsza z nazwami – zajmijmy się odpowiedzią na pytanie.

Oczywiście to, jak daleko widzimy zależy od tego, z jakiej wysokości patrzymy i tego, co nam widok zakłóca czy zasłania. Przyjmijmy, że jesteśmy na środku spokojnego morza przy idealnej pogodzie i widoku nic nie zakłóca.

Ktoś był tak miły, że wyprowadził na to prosty wzór. Otóż nasz wzrok sięga 3,57*√h kilometrów. To „h” to wysokość wzroku podana w metrach. Wygląda to groźniej, niż się liczy. Dla obserwatora, który ma oczy na wysokości 1,75 m wychodzi nam pierwiastek z 1,75 pomnożony przez 3,57 czyli (w komputerze czy telefonie macie kalkulator) około 4,72 km. A więc dla przeciętnego człowieka stojącego na ziemi widnokrąg jest oddalony zaledwie o niecałe 5 kilometrów.

Niedawno mieliśmy okazję wjechać na nowojorski Empire State Building. To tam właśnie naszło nas to pytanie – jak daleko widzimy. No więc policzmy. Główny taras widokowy znajduje się na wysokości 320 metrów. Dorzućmy do tego nasze 1,7 m i liczymy. Wychodzi około 64 kilometrów. No, to już robi lepsze wrażenie!

Czego u nas szukaliście?

Avatar photo
Piotr Stanisławski

Nigdy nie znudzi mi się pisanie o technologiach i kosmosie, a robię to już od dobrych kilkunastu lat. Bronię naukowych przyczółków, z dziką rozkoszą rozprawiam się z pseudonaukowymi mitami i fake newsami. Kręcę filmy i chętnie eksperymentuję przed kamerą. W rzadkich wolnych chwilach uczę informatyki i przyrody w szkole podstawowej. Gdyby istniała możliwość bilokacji, byłbym pierwszym, który skorzystałby z niej.

48komentarzy

    • kumasz kminisz czaisz

      beznadziejny wzór, który można obalić w 5 min!!!

        • koń rafał

          bal!! ha cicha mi masz :))) ;)) ***

          • kTn

            Proszę uprzejmie: jak daleko jest horyzont dla człowieka o wzroście 380000 km (patrzymy z Księżyca)?

      • Jozef

        Bardzo proszę. Wzór jest błędny ponieważ nie bierze pod uwagę kulistości kuli (im wyżej umieścimy punkt obserwacyjny tym mniejszy przyrost promienia widnokręgu uzyskamy, co za tym idzie stosowanie jakiejkolwiek stałej jest nie na miejscu). Promień ten najłatwiej wyliczyć twierdzeniem Pitagorasa, gdzie przeciwprostokątna to promień Ziemi powiększony o wysokość punktu obserwacyjnego, jedną z przyprostokątnych będzie sam promień Ziemi, drugą zaś promień widnokręgu (który jest styczną do kuli i co za tym idzie tworzy z promieniem Ziemi kąt prosty).

        • Jozef

          Ten wynik jest przybliżony (odcinek stycznej od punktu obserwacyjnego od miejsca styku z kulą nie jest de facto średnicą okręgu), ale przy małych wysokościach w zupełności wystarczy. Do dokładnego wyznaczenia promienia widnokręgu należałoby jeszcze wyliczyć promień okręgu wyznaczonego przez miejsce styku z kulą. Wyobraźmy sobie, że środek Ziemi, punkt obserwacyjny i miejsce styczne tworzą trójkąt prostokątny abc, gdzie a to promień Ziemi, c promień Ziemi powiększony o wysokość punktu obserwacyjnego zaś b to odległość od punktu obserwacyjnego od styku z kulą (czyli Ziemią). Kąt pomiędzy przeciwprostokątną (c) a przyprostokątną (b) oznaczmy jako α. Następnie od punktu styku poprowadźmy odcinek prostopadle do odcinka c i nazwijmy go y. Kąt pomiędzy odcinkami y oraz a to również α. ponieważ cosα=b/c jak również cosα=y/a, to b/c=y/a czyli y=(b/c) x a.

    • hoolajnoga

      To czym jest to 3,57? Wysokością łodzi czy odległością człowieka od dna tego morza? Ja bym się skłaniał ku drugiej opcji bo w treści nie ma nic wspomniane o jakiejś łodzi, tylko o tym, że ktoś jest na środku spokojnego morza. Jeśli nie ma łodzi to morze jest jakieś płytkie, chyba, że to 3,57 to kilometry ale wtedy powinniśmy zamienić wysokość budynku także na kilometry a tam są metry. Bo w treści nie zostało to wyjaśnione aż tu nagle zostało zastąpione przez 320 metrów. Droga redakcjo, jeśli już chcecie uchodzić za znawców matematyki to chociaż wyjaśniajcie co jest do czego we wzorze bo póki co to dziecko w podstawówce potrafi lepiej przedstawiać wzory. Pozdrawiam.

      • hoolajnoga

        A może jest to jakaś inna jednostka stała we wzorze? Nic nie wyjaśnione…

      • hoolajnoga

        No i jeśli liczycie zasięg widzenia z wysokości 301,7 metrów nad ziemią (h budynku) to powinniście analogicznie liczyć zasięg widzenia z dna morza lub dodać do 1,7 metra głębokość tego morza w danym punkcie. Ale po co, wstawimy sobie jakiekolwiek dane a ludzie niech myślą, że my tacy mądrzy 🙂

  2. ydk2

    64 km to widoczność z 10 m, a z 320 m to 2226.288713910761 km. Wyliczenie za pomocą pg.gda.pl czyli Politechniki Gdańskiej.
    Niezbyt poprawnie to Wasze wyliczenie.

    • Tomek

      Raczej na polibudzie się “rąbli”. Tak na zdrowy rozum- z 3 piętra nie widać krańców województwa, a z empire state building Florydy 😀

    • Konrad

      Hm, to dlaczego z samolotu lądującego na Okęciu nie widać Moskwy np.? Serio, 2200km horyzontu jest raczej z ISS (320km).

    • Łukasz PasQd

      jak Ty to obliczasz ?? pierwiastek z 10 to 3,16. A z tego co mi wychodzi 3.57 x 3,16 to około 11.29 km. Więc z 10m widnokrąg to ok 11 km. Gamoń !

      • ydk2

        Przecież napisałem jak czytać uważnie, proszę i tam kierować pretensje.
        Zresztą musi być to wyliczenie dynamiczne zależne od szerokości i kierunku wzroku, bo ziemia nie jest idealną kulą.
        Pozdrawiam.

        • koń rafał

          napisałem do polibudy w gdańsku, że są półgłówkami i nie umieją liczyć, poza tym śmierdzą i mają wszy na pępku. Nie wiem co oni na to :(((( smutno mi

  3. Maciek Bukowski

    Wzór na odległość granicy widoczności jest rzeczywiście banalny i wynika bezpośrednio z tw. Pitagorasa, a ten zamieszczony tutaj zakłada, że wysokość punktu obserwacyjnego jest dużo mniejsza od promienia Ziemi, co niestety nie zostało dodane.

    A teraz trochę prostej matematyki:

    Zakładając, że punkt obserwacyjny jest przedłużeniem promienia Ziemi oraz przyjmując oznaczenia:
    ^ – znak potęgi,
    ~~ – znak przybliżenia,
    x – odległość granicy widoczności [km]
    r – promień Ziemi, równy w przybliżeniu 6378km (mocno uśredniając)
    H – wysokość punktu obserwacyjnego [km]
    h – wysokość punktu obserwacyjnego [m]
    wynika, że x^2 + r^2 = (H+r)^2.
    Stąd x^2 = H^2 + 2Hr + r^2 – r^2 = H^2 + 2Hr,

    Zauważmy, że dla dużego promienia i niskiego punktu obserwacyjnego, tzn. H << r, wynika, że H^2 << 2Hr, więc w przypadku niskich punktów obserwacyjnych i dla ułatwienia obliczeń możemy ominąć H^2 i przyjąć, że:
    x^2 ~~ 2Hr
    x^2 ~~ 2 * 10^-3 hr
    x^2 ~~ 2 * 10^3 * 6378 h
    x^2 ~~ 12,756 h

    Zatem ostatecznie po spierwiastkowaniu stronami (x pozostanie dodatni z założenia odległości, która nie może być ujemna) dochodzimy do tego "dziwnego wzoru":

    x ~~ 3,57 √h

    Natomiast należy zaznaczyć, że ten wzór działa TYLKO "dla małych h", ponieważ JEST PRZYBLIŻENIEM.

    Pozdrawiam, Maciek. Emotikon wink

    • Adam Tomasz Stankiewicz

      WZÓR DZIAŁA ZADZIWIAJĄCO DOBRZE DLA KAŻDEJ MOŻLIWEJ WYSOKOŚCI:
      dla h=100km błąd jest rzędu jednej-stutysięcznej (0.01‰)
      dla h=1000km błąd jest rzędu jednej-tysięcznej (1‰)
      dla makxymalnej teoretycznej wysokosci h≈6400km błąd < 1.5‰

      • Robert czosnowski

        Znikający punkt
        Panie Adamie,
        Proszę wyobrazić sobie człowieka leżącego na plecach na ziemi, nad którym, na wysokości jego oczu, znajduje się obiekt o średnicy powiedzmy 1000m (1km). Załóżmy, że oczy tego człowieka znajdują się w centrum tego obiektu. Wyobraźmy sobie także, że w pewnym momencie obiekt ten zaczyna unosić się pionowo do góry. W jakiej odległości od nas obiekt ten stanie się dla nas niewidoczny?

      • Henryk

        Wzór jest bardzo uproszczony, tylko do małych wysokości, nie ma takiej wysokości (odległości wzroku od ziemi), z której zobaczylibyśmy na odległość 20 000 km, czy widzieli drugą stronę naszej planety.

  4. Tom

    W jakiej odl. powinny być balony aby się wzajemnie widziały jeśli lecą na wys. 5km.?

    • Adam Tomasz Stankiewicz

      Każdy z balonów ma zasięg widoczności: 3.57*√5000≈250km. Zatem przy idealnej przejrzystości powietrza, braku jego drgań itp., dodatkowo bez uwzględniania refrakcji, mamy odpowiedź: ≈500km. Ale przy tej odległości balony są tak małe optycznie, że się ich nie zobaczy uwzględniając rozdzielczość współczesnych przyrządów optycznych (pomijając już skuteczność ‘celowania’ optycznego).

  5. TrueStory

    Zakładając, że kieruję wiązkę lasera z gładkiej powierzchni ziemi równolegle do jej powierzchni, to o ile wyżej od powierzchni oddalonej o 1km będzie padało światło lasera? Z moich przybliżonych obliczeń wyszło 8,7305m (przyjmując R=6378).
    Czy to znaczy, że nie będę widział obiektu oddalonego o 1km, który ma wysokość (8m – mój wzrost) ?

    Nie powinienem też widzieć Pałacu Kultury w Warszawie z odległości 27km a jednak widzę.

    Wzór na podstawie, którego liczyłem:
    R=6378
    Ucieczka wysokości = R – R*cos(FI)
    Pi=3,14
    Ob=2*Pi*R=2*3,14*6378=40053,84
    1st = 111,261km
    Cos(1st)=0.9998477

    Ucieczka (po 111,261km / 1st) = 6378 – 6378*0,9998477 = 0,9713694km = 971,3694m

    Ucieczka po 1km = 0,9713694/111,261=0,0087305km = 8,7305m

    Dodam, że obiekt oddalony o 1km będzie odchylony od mojego pionu o 0,00898809077971687514043891843308 stopnia, co nie wpływa na moje postrzeganie jego wysokości, gdyż cosinus tak małego kąta jest bliski 1.

    Moje pytanie brzmi: Dlaczego widzę Pałac Kultury i Nauki z odległości 27km (przy ładnej pogodzie)?
    Czy w moich obliczeniach jest błąd? Przybliżenie liczby Pi nie wpływa na wynik końcowy w sposób znaczący.

    • Marcin Króliczek

      To wszystko jest o wiele bardziej skomplikowane, żeby wprowadzać zament.
      Po pierwsze Warszawa i Pałac Kultury nie jest na równiku !!!
      Po .., czy miejsce z którego patrzysz jest na tej samej wysokości npm co podstawa Pałacu – ukształtowanie terenu ?
      Po.., czy można zobaczyć podstawę i dół Pałacu Kultury z takiej odległości czy tylko czubek – przecież Warszawa jest zabudowana?
      Po..Ziemia nie jest idealną kulą- jest spłaszczona i przy równolezniku 52st – Warszawy- promień będzie inny
      Po.., jeszcze pewnie wiele innych czynników by się znalazło, które wpływają że z pewnych odległości krzywizny Ziemi po prostu nie widać.

      Czy Ty próbujesz w dyplomatyczny i dyskretny sposób zasiać zwątpienie że ziemia jest kulista (nie jest kulą !!!) ? ehhhh.

      • Lili

        Bo nie jest. Hihihi… Trafilam tu wlasnie poszukujac danych lub raczej ich potwierdzenia do jednego z wielu eksperymentow, ktore to wlasnie udowadniaja.
        Pozdrowki!

    • Tomek

      Przecież te obliczenia są kompletnie błędne. Wiązka lasera będzie padać ok. 8 cm powyżej powierzchni ziemi.

    • Dominik

      Źle obliczyles. 1 m będzie na 3,5 km. Także te 8 m na 1 km to jest błąd. gdyby tak to by mosty się ciężko budowalo.

  6. spotter81

    Skąd jest ten wzór i stała 3,75? Właśnie sprawdziłem empirycznie na plaży nad morzem (wysokość wzroku podobna) i bardzo dobrze widzę zarówno miejscowość, która jest oddalona o ok. 6 km, jak i plażę daleko za nią.

    • szd

      Ten wzór na pewno nie uwzględnia zmiennej wysokości obiektu, na który patrzymy 🙂 Nie chce mi się sprawdzać, ale podejrzewam, że pozwala obliczyć odległość od punktu styczności z okręgiem (widnokręgiem).

      • Łukasz

        Plaża raczej nie jest wysoko tylko przy poziomie morza, wynika z tego jasno że ziemia jest płaska. ..

    • Dominik

      Załóżmy dla uproszczenia że masz 2 m wzrostu.
      Horyzont widzisz na 5 km.
      10 km nie widzisz 2 metrów pod horyzontem. Rozumiesz?
      20 km nie widzisz 17 metrów pod horyzontem. Maszty statków jeszcze zobaczysz.
      30 km nie widzisz 48 m. Latarnie morską też częściowo zobaczysz.
      40 km nie widzisz 95 m. Widzisz w polowie Wiezowiec Turning Turso w Malmo ma 190 m. Jak patrzysz z Danii.
      50 km nie widzisz 158 m. Wieżowiec jeż ledwo widzisz ostatnie piętra ( oczywiście jak masz dobra lunetę i jest ładna pogoda)
      Ogólnie to Burdz Kaliffa byś zobaczył nawet że 100 km. Oczywiście ostatnie 50 m.

  7. Kuba

    Firma budująca w Szczecinie apartamentowiec o wysokości 120m chwali się, że będzie z niego widać odległy o ok. 65 km Bałtyk. To możliwe czy pic na wodę?

    • Robert

      gdyby apartamentowiec powstał dokładnie na poziomie morza to nie, z podanego wzoru wynika że wys 120m daje wgląd na ok 40 km, idąc dalej żeby zobaczyć na odległość 65 km potrzeba być na wysokosci (65/3,57) do kwadratu, co daje jakies 331m, zatem jesli teren budowy jest ponizej 211 m nad poziom moza to nie ma najmniejszych szans zobaczyć go z niego jesli zaś jest wyzej, i do tego korzystne jest ukształtowanie terenu i nie ma obecnych przeszkód na linii wzroku to moze być widoczne.

  8. Mariusz

    Wiem że artykuł stary i posty również ale może ktoś rozwieje moje przemyślenia. Tzn jeśli znajduję się na oceanie i pływam w wodzie i wzrok “umieszczam” tuż nad powierzchnią wody. Tzn wzrok znajduje się teoretycznie na wysokości 0 m to znaczy że gówno będę widział? nawet na 10 m? dziwne

    • Tomek

      Nie ma w tym nic dziwnego. Osobna kwestia jest taka, że praktycznie niewykonalne jest przeprowadzenie takiego eksperymentu – najdrobniejsze falowanie wody zaburzy postrzeganie horyzontu.

    • ananda

      Wzór pomaga obliczyć odległość do stycznej (tzn. że będziesz widział dany obiekt w całości – aż do punktu, w którym styka się z “ziemią”). W Twoim przypadku ta odległość to zero, ale jeśli obiekt będzie miał wysokość np. 1,75m i będzie oddalony od Ciebie o 4,72 km to teoretycznie zobaczysz jego czubek.

    • Wiktor

      Oczy 10cm nad powierzchnią – widoczność w promieniu 1,12km, 5cm – 800m, 1cm – 357m (oko częściowo zanurzone xD). Im bliżej nas, tym Ziemia jest bardziej “płaska”.

  9. Samarama

    Wzór jest dobry a 3,57 skąd jest, można poczytać na wikipedii ze zrozumieniem.

  10. Łukasz

    Wzór prawidłowy dla kuli o obwodzie 40 000 km tyle, że wynika z niego, że nad morzem statki znikały by za horyzontem częściowo po 5 km a całkowicie po kilkunastu km, a często widać statki od poziomu styku z wodą z odległości 10 km i więcej a z zoomem to i z ponad 30 km, lstarnie morskie z zoomem to i ze 100 km a z takiej odległości to powinna latarnia morska być ok 700 m pod horyzontem , wynika z tego, że ziemia jest płaska. .

    • Dominik

      Nie masz racji. Z 2 metrów widzisz horyzont 5 km.
      10 km nie widzisz 2 m. ( zagłówki, siateczki lekko się chowają)
      20 km nie widzisz 17 m
      30 km nie widzisz 48 m
      40 km nie widzisz 95 m
      50 km nie widzisz 158 m
      60 km nie widzisz 236 m
      70 km nie widzisz 331 m
      80 km nie widzisz 440 m
      90 km nie widzisz 566 m
      100 km nie widzisz 707 m

      Pamietaj ze mowimy tu o sytuacji ze stoisz na plaży i masz 2 m.

      Możesz też patrzeć z hotelu np. 20 m nad ziemią i przy 50 km nie widzisz 70 m A nie 158 m. Więc latarnie mógłbyś dostrzec( mówię o budynku A nie o świetle latarni)
      Jest też zjawisko refrakcji światła i mirażu gdzie widać rzeczy pod horyzontem.
      To co powyżej napisałem jest absolutnie zgodne z obliczeniami. Jest to nie powtarzalne.
      Jeśli uważasz inaczej mogę się założyć o 100 000 zł

      • Łukasz87km

        Ja też sie mogę załozyć bo mówię , że widze latarnie ze 100 km a nie z 50 km i to z plaży (oczywiście przez dobrą lunetę 600 x) więc powinna być svhowana nie w 70 m a w 700 m czyli powinna być grubo ponad 600 m pod horyzontem, refrakcja wynosi dla powietrza 0,0003 , (czyli tyle co bład pomiaru i jej się wogóle nie uwzględnia ) i to tylko w wyjątkowych warukach , a widzielismy tą latarnie wiele dni z rzędu, może zarówno wyciągac zza horyzontu jak i chować pod horyzont, czyli ta moja obserwacja (zresztą obserwowałem ją z całą grupą osób ) oraz wiele podobnych obserwacji JEST MOŻLIWA TYLKO NA PŁASKIEJ ZIEMI…

  11. Sławek

    3.57 – nie jest tajemnicze.
    Trzeba wykorzystać twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta.
    Uczeń szkoły średniej rozwiąże to w kilka minut i wyprowadzi wzór

    (R+h)*(R+H) = R*R + z*z
    pomijamy wyraz h*h bo jest on bardzo mały i mamy wzór ogólny:

    z=pierwiastek kwadratowy (2*R*h)

    lub uproszczony
    z=3.57* pierwiastek kwadratowy (h)

    3.57 – to jest pierwiastek kawdratowy (2*R),
    R – promień Ziemi.
    z – zasięg w km
    h podajemy w metrach

    Wszystko jest już jasne.
    Możecie podstawić jako R np. promień Księżyca, czy np. Jowisza i zobaczycie jakie tam są zasięgi widoczności.

  12. Jaroslaw Sokol

    mam pytanie czy jest mozliwe aby z Sandomierza widac bylo Tatry? ok 200 km w linii prostej….

  13. Henryk

    Wzór jest bardzo uproszczony, tylko do małych wysokości, nie ma takiej wysokości (odległości wzroku od ziemi), z której zobaczylibyśmy na odległość 20 000 km, czy widzieli drugą stronę naszej planety.

  14. Paweł

    Czy kiedykolwiek pomyślałeś o tym, czym jest wszechwiedza?
    …Że wszelkie algorytmy tkwią w matematyce i że ona jest bytem wszechwiedzącym?
    Piszę o tym w książce “Trójca Święta bez tajemnic – to po prostu żywa fizyka i matematyka”…

    I co Ty na to?

  15. Woj

    To jak wytłumaczyć fakt że w linii prostej z Krynicy Morskiej do Fromborka jest według map 14 kilometrów i z Krynicy Frombork widać ?

Nie ma więcej wpisów