Rozmiar ma znaczenie, czyli paradoks Simpsona

Czy rozmiar ma znaczenie? Zdecydowanie tak, przynajmniej w kontekście paradoksu Simpsona – pisze gościnnie na Crazy Nauce Paula Rowińska, matematyczka, finalistka konkursu FameLab i autorka bloga o matematyce dla zwykłych ludzi.

Wyobraźcie sobie, że lekarz diagnozuje u Was kamicę nerkową, czego oczywiście Wam nie życzę. Ale pobrnijmy dalej w tę stronę, bo na przykładzie tej historii chciałabym Wam pokazać matematyczne dziwactwo: paradoks Simpsona. No więc z diagnozą kamicy nerkowej dostajecie do wyboru dwa rodzaje leczenia: operację lub małoinwazyjną procedurę. Dane wskazują, że małoinwazyjne terapie wyleczyły większy odsetek pacjentów niż operacje, odpowiednio 83% i 78%. Decyzja jest więc prosta, prawda? Otóż wcale nie.

Po dodatkowych badaniach okazuje się, że wasze kamienie nerkowe są małe, tzn. mają średnicę poniżej 2 cm. To ważna informacja, bo w przypadku pacjentów z małymi kamieniami nerkowymi to operacje wydają się skuteczniejsze, wyleczyły bowiem 93% chorych, a małoinwazyjne procedury jedynie 87%.

Czyli pacjenci z małymi kamieniami powinni wybrać operację, a z dużymi – małoinwazyjną procedurę? Nie do końca. Okazuje się, że operacje pomogły 73% pacjentów z dużymi kamieniami, a małoinwazyjne procedury tylko 69%. Czyli i w tej grupie operacja stanowi lepszy wybór!

Wobec tego operacje są lepsze zarówno dla pacjentów z małymi, jak i dużymi kamieniami, ale gdy patrzymy na całą populację chorych, małoinwazyjne procedury wygrywają. Jak to możliwe?

To tak zwany paradoks Simpsona. Mówimy o nim, gdy obserwowany efekt w poszczególnych grupach odwraca się lub zanika po ich połączeniu. Rodzaj leczenia oraz wynik leczenia są mocno związane z trzecią zmienną, tak zwaną zmienną zakłócającą: wielkością kamieni.

Aby zrozumieć to zjawisko, musimy przyjrzeć się liczbom pacjentów w poszczególnych grupach, a nie tylko procentom procedur zakończonych sukcesem. Przyglądając się tabeli 1, warto zwrócić uwagę na liczbę pacjentów kierowanych na poszczególne rodzaje terapii. Widać wyraźnie, że pacjenci z dużymi kamieniami, czyli bardziej zaawansowaną chorobą, częściej lądują na stole operacyjnym. Jednak ponieważ duże kamienie trudniej wyleczyć niż małe, operacje wydają się mniej skuteczne.

Tabela 1. Procent pacjentów wyleczonych poszczególnymi metodami, z podziałem na rozmiar kamieni nerkowych. W nawiasach podano stosunek liczby pacjentów wyleczonych i poddanych danej procedurze. Źródło

Oznacza to, że to właśnie wielkość kamieni, czyli stopień zaawansowania choroby, jest tutaj kluczową zmienną. Jeśli nie weźmiemy jej pod uwagę, nie możemy sprawiedliwie ocenić obu rodzajów leczenia. To trochę tak, jakbyśmy porównywali umiejętności matematyczne dwóch grup licealistów jedynie na podstawie zdawalności matury z matematyki w obu grupach. Może się okazać, że w pozornie gorszej grupie większość wybrała maturę rozszerzoną, którą zdać jest po prostu trudniej!

Pamiętajcie: dane są jak cebula – mają warstwy. I warto do tych głębszych warstw dotrzeć, bo często skrywają one ważną informację. Na przykład, że rozmiar może mieć znaczenie.