To nie jest ta geometria ze szkoły – mała książka o wielkiej przestrzeni

Tekst jest elementem płatnej współpracy z Wydawnictwem Uniwersytetu Łódzkiego

Nie wiem, czy też tak macie, ale przy całym braku sympatii do tego, jak w szkole uczy się zwykle matematyki, lubiłam geometrię. Chyba dlatego, że przy niej matematyka nabierała jakiegoś uchwytnego kształtu. Dosłownie i w przenośni.

Przy równaniach i ciągach miałam wrażenie, że to bardzo konkretne i spójne, ale takie jakieś straszliwie abstrakcyjne. A geometria? Geometria była namacalna. Miałam całkiem niezły cyrkiel i robiąc jakieś podziały kąta czy odcinka, czułam, że to naprawdę działa, że mi się udaje, no i mam jakąś sprawczość. Że ta matematyka działa i mogę to zobaczyć na własne oczy.

Oczywiście zdaję sobie sprawę, że to było zaledwie muśnięcie tematu. Ale po rozmowach ze znajomymi mam wrażenie, że nie jestem w tym odosobniona – sporo osób wspomina geometrię jako ten moment, w którym matematyka stawała się jakaś bardziej przyjazna i realna. Więc z niespodziewaną ciekawością zabrałam się za „Geometrię. Krótkie wprowadzenie” Macieja Dunajskiego.

Bo to kolejna książka z serii „Krótkie wprowadzenie” wydawanej przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego – serii, o której pisaliśmy już wielokrotnie i która jeszcze ani razu nas nie zawiodła. Koncepcja jest niezmienna: około 150 stron w kieszonkowym formacie, same konkrety. Czytelnik nie musi być specjalistą – wystarczy ciekawość. No i sporo czasu, ale o tym za chwilę.

Tym razem jest jeszcze coś, o czym warto wspomnieć. Autor, Maciej Dunajski, jest Polakiem wykładającym na Uniwersytecie Cambridge. I to czuć, bo książka ma oddzielny wstęp do wydania polskiego, w którym Dunajski pisze o polskiej tradycji matematycznej – o szkole lwowskiej Banacha, szkole warszawskiej Sierpińskiego i Kuratowskiego. No i szczerze tam przyznaje, że geometria nie jest naszą narodową specjalnością. Wspomina nawet swoją maturę w łódzkim liceum im. Kopernika i to, jak w polskich szkołach faszerowano uczniów teorią zbiorów zamiast twierdzeniami o trójkątach.

Od cyrkla do wzorów

Książka zaczyna od tego, co znajome – twierdzenie Pitagorasa, aksjomaty Euklidesa (tak, kojarzycie je, nawet jeśli o tym nie wiecie), no i konstrukcje z cyrklem i linijką. Ale strefa komfortu kończy się dość szybko. Już w rozdziale o geometrii euklidesowej pojawiają się współrzędne kartezjańskie, wektory, a z nimi wzory. I tu muszę być uczciwa – one potrafią przerażać. Ktoś, kto otwiera książkę z nadzieją na lekką narrację i ładne rysunki, może poczuć się zaskoczony.

Ale jest druga strona medalu. Jeśli ktoś faktycznie usiądzie, weźmie ołówek (sam autor zresztą do tego zachęca) i prześledzi wywód krok po kroku, okazuje się, że te wzory wcale nie są tak straszne. Dunajski buduje argumentację stopniowo, a kolejne kroki wynikają z poprzednich. I tu ogromną rolę odgrywają ilustracje – w tej książce jest ich mnóstwo i nie pełnią roli ozdobników. A przynajmniej nie tylko.

Kiedy geometria spotyka sztukę

Bardzo podobają mi się te wszystkie momenty, w których geometria wychodzi poza matematykę i łączy się ze sztuką. Autor poświęca temu sporo miejsca, szczególnie w rozdziale o geometrii rzutowej, i robi to znakomicie. Te wszystkie zasady perspektywy, konsekwencja i spójność to jest po prostu czysta geometria.

Z drugiej strony mamy Eschera, którego piękne grafiki okazują się modelami geometrii hiperbolicznej. Jego „Granica okręgu IV” pojawia się w książce dwukrotnie i za każdym razem robi wrażenie – tym większe, gdy uświadomimy sobie, że to nie jest fantazja artysty, tylko wierne odzwierciedlenie konkretnej geometrii, w której punkty na brzegu dysku znajdują się od siebie nieskończenie daleko. Tak, to jest dobrze opisane i zrozumiałe.

Podróż rodem z science fiction

No i moje ulubione fragmenty – momenty, gdy opuszczamy bezpieczny świat geometrii euklidesowej. I tu muszę powiedzieć, że dla kogoś, komu matematyka nie jest zbyt bliska, to doświadczenie naprawdę niezwykłe. Dla specjalistów geometria nieeuklidesowa to po prostu kolejny kawałek ich dziedziny. Dla laików to coś na kształt wejścia do równoległego świata, w którym obowiązują inne prawa przyrody.

Bo jak inaczej opisać geometrię, w której przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej? Albo taką, w której suma kątów w trójkącie nigdy nie wynosi 180 stopni? Czytając o geometrii hiperbolicznej, o przestrzeniach zakrzywionych, a wreszcie o czasoprzestrzeni Einsteina, ma się wrażenie, że to coś z obszaru science fiction. Takie światotworzenie, które zawsze jest wielką sztuką.

No i rozdział siódmy – „Geometria świata fizycznego”. Dunajski prowadzi nas od szczególnej teorii względności, przez stożki świetlne i metrykę Schwarzschilda, aż do wnętrza czarnych dziur. I tam, w osobliwości, geometria się kończy – „ani czas, ani przestrzeń nie mają sensu”, jak pisze autor. Pojawiają się Penrose i Hawking, pojawia się Nagroda Nobla z 2020 roku, pojawia się hipoteza kosmicznej cenzury. Tak, znowu mamy science fiction. Tyle, że mocno „science”. A na koniec – teoria twistorów i sześciowymiarowa rozmaitość, przy której nawet autor przyznaje, że to granica naszej obecnej wiedzy. No… to jest mocne.

Książka na bezludną wyspę

Przyznaję – momentami było za trudno. Macierze w rozdziale szóstym, wzory metryki Schwarzschilda w siódmym. Ale mam takie poczucie, że spora część z tego nie jest poza moim zasięgiem. To kwestia czasu i zaangażowania. I chyba właśnie dlatego „Geometria” kojarzy mi się z książką, którą można by zabrać na bezludną wyspę. Nie dlatego, że jest gruba – bo nie jest. Ale dlatego, że każda strona wymaga myślenia, a nie tylko czytania. Najdłuższa powieść zajęłaby głowę na tydzień czy dwa. Ta cienka książeczka mogłaby na znacznie dłużej.