captcha image

Hasło zostanie wysłane na twojego e-maila.

O różnych rodzajach nieskończoności pisze gościnnie na Crazy Nauce matematyczka Paula Rowińska z Imperial College London, autorka bloga o matematyce dla zwykłych ludzi.

Kto z was pamięta przedszkolne licytacje?

– Ja to mam dziesięć lalek!

– A ja piętnaście.

– Ha, ja nieskończenie wiele. Wygrałam!

Jako pięcioletnia dziewczynka w tym momencie myślałam, że muszę się poddać. Dopiero na pierwszym roku studiów matematycznych zrozumiałam, że wcale nie byłam na przegranej pozycji. Nieskończoność bowiem niejedno ma imię.  

Już w XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor zszokował świat stwierdzeniem, że istnieją różne rodzaje nieskończoności. Co więcej, możemy je ze sobą porównywać, zatem jesteśmy w stanie stwierdzić, że jeden zbiór jest większy od drugiego, nawet gdy oba mają nieskończenie wiele elementów. Wbrew pozorom nie chodzi tutaj o jakieś patologiczne twory, którym zajmują się jedynie utytułowani matematycy. Każdy z nas spotyka się z tym problemem na co dzień, nawet nie zdając sobie z tego sprawy. Tak, ty też!  

Nikt nie ma wątpliwości, że liczb całkowitych (…, −2, −1, 0, 1, 2, …) jest nieskończenie wiele: jeżeli podasz mi pewną liczbę całkowitą, ja mogę dodać do niej jeden i otrzymać kolejną. Wydaje się oczywiste, że liczb parzystych (…, −4, −2, 0, 2, 4, …) powinno być dwa razy mniej; w końcu każda z nich należy również do zbioru liczb całkowitych, w którym znajdziemy też tyle samo liczb nieparzystych. Wbrew intuicji zbiory te są równoliczne (spokojnie, zaraz wyjaśniam), co można bez trudu udowodnić.  

Łączenie w pary

Najpierw musimy jednak wyjaśnić, co tak naprawdę oznacza równoliczność. Wyobraźmy sobie huczną imprezę, której uczestników nie znamy. Załóżmy, że chcielibyśmy sprawdzić, czy na przyjęciu panuje równowaga płci, czyli czy zbiory kobiet i mężczyzn są równoliczne. Najprostszą metodą będzie dobranie tancerek i tancerzy w pary. Jeśli to się uda, mamy dokładnie tyle samo kobiet, co mężczyzn. Jeżeli niektóre z pań nie znajdą partnera, zbiór kobiet jest większy niż zbiór mężczyzn. Jeśli to panowie zostaną na lodzie, przyszło ich więcej niż przedstawicielek płci pięknej. Zatem zbiory definiujemy jako równoliczne, gdy możemy ich elementy połączyć w pary tak, aby żaden element nie został sam.  

Jaki to wszystko ma związek z liczbami parzystymi i całkowitymi? Zauważmy, że gdy weźmiemy dowolną liczbę całkowitą i pomnożymy ją przez dwa, otrzymamy liczbę parzystą. Z drugiej strony, każdą liczbę parzystą możemy uzyskać przez takie właśnie podwojenie. Jaki z tego wniosek? Niczym tancerzy na imprezie udało nam się dobrać elementy tych dwóch zbiorów w pary, czyli liczb parzystych jest tyle samo co liczb całkowitych, mimo że zbiór tych pierwszych zawiera się w drugim zbiorze!

W podobny sposób możemy pokazać, że tyle samo elementów mają zbiory liczb nieparzystych, naturalnych (czyli 0, 1, 2, 3,…), wymiernych (czyli ułamków, które pamiętamy ze szkoły: 1/2 , 2/3 , 4/13 itd.) i wielu innych. Wszystkie te zbiory określamy mianem przeliczalnych, ponieważ możemy je policzyć – chociaż może nie na palcach jednej ręki.  

To jak jest z tą nieskończonością?

Skoro znaleźliśmy tyle nieskończonych zbiorów, nie istnieje już nic większego, prawda? Otóż niestety nie wszystkie zbiory jesteśmy w stanie „przeliczyć”, zatem istnieją też zbiory nieprzeliczalne. Na przykład liczb na osi liczbowej (czyli w zbiorze liczb rzeczywistych) jest więcej niż w zbiorze liczb naturalnych. Czym są liczby rzeczywiste? W uproszczeniu to wszystkie liczby, na które mamy szansę natknąć się w życiu codziennym: −17, 4.5, 8 7 , π, 22.3333 . . . , √ 2 i wiele, wiele innych.

Zapewne myślisz sobie: to przecież oczywiste, że jest ich więcej, to widać na pierwszy rzut oka! Może bardziej zaskoczy cię fakt, że cała prosta (od „minus nieskończoności” do „nieskończoności”) ma tyle samo elementów, co odcinek od 0 do 1. Jednym słowem Cantor udowodnił, że między zero a jedynkę można wcisnąć więcej liczb niż znajduje się w całym (nieskończonym!) zbiorze liczb naturalnych. Dowód tego twierdzenia jest nieco bardziej skomplikowany, zainteresowanych odsyłam do „Wykładów ze wstępu do matematyki” Wojciecha Guzickiego i Piotra Zakrzewskiego.  

Ponieważ wiemy, że istnieją zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, narzuca nam się pytanie: czy można znaleźć zbiór o liczbie elementów większej od zbioru liczb naturalnych, a mniejszej od zbioru liczb rzeczywistych? Pytanie niby proste, lecz odpowiedź zaskakująco skomplikowana. Cantor nie potrafił takiego zbioru znaleźć, więc wysunął hipotezę continuum, która mówi, że żaden taki zbiór nie istnieje. W 1940 austriacki matematyk Kurt Gödel udowodnił, że taka hipoteza nie jest sprzeczna z przyjętymi regułami matematyki. Co gorsza, w latach sześćdziesiątych okazało się, że hipotezy continuum nie można ani udowodnić, ani obalić! Tym stwierdzeniem amerykański matematyk Paul Cohen wywołał burzę w środowisku naukowym. Do tej pory wydawało się, że coś albo jest prawdziwe, albo fałszywe, a Cohen dodał do czarno-białego świata matematyki nieco odcienia szarości.  

Już Kirkegaard stwierdził: „Nieskończoność i wieczność stanowią największą i jedyną pewność.” Tylko którą nieskończoność miał na myśli? Tego nie możemy być pewni.

 

Czy wiecie, że nie ma jednej nieskończoności?
4.5 (90%) 4 głosów

Czego u nas szukaliście?

Nie ma więcej wpisów